ABC172 D - Sum of Divisors

備忘録

問題

atcoder.jp

回答

import sys, os, math, bisect, itertools, collections, heapq, queue, copy, array

# from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense, floyd_warshall
# from decimal import Decimal
# from collections import defaultdict, deque

sys.setrecursionlimit(10000000)

ii = lambda: int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
il = lambda: list(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
fl = lambda: list(map(float, sys.stdin.buffer.readline().split()))
iln = lambda n: [int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip()) for _ in range(n)]

iss = lambda: sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
sl = lambda: list(map(str, sys.stdin.buffer.readline().decode().split()))
isn = lambda n: [sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip() for _ in range(n)]

lcm = lambda x, y: (x * y) // math.gcd(x, y)

MOD = 10 ** 9 + 7
INF = float('inf')


def main():
    if os.getenv("LOCAL"):
        sys.stdin = open("input.txt", "r")

    N = ii()
    ans = 0
    for x in range(1, N + 1):
        n = N // x  # Nのうちにxがいくつ含まれるか（等差数列の項数）
        ans += (n * (2 * x + (n - 1) * x)) // 2  # 初項と公差がxでn項の等差数列の和
    print(ans)


if __name__ == '__main__':
    main()

考え方

公式解説の通り、等差数列の和から回答を求めた。
初めは、なぜ等差数列の和が回答になるか、理解できなかったが、
こちらの解説で書かれている「ある数 K が 何かで割れると、答えが +K される」で何となく雰囲気理解した。

イメージ的にはこんな感じ。

これを横に見ると、等差数列の和になっている。

等差数列の和の公式は以下を参考にした。
等差数列の和の公式の例題と証明など | 高校数学の美しい物語