ABC190 D - Staircase Sequences

備忘録

問題

atcoder.jp

回答

import sys
import os
import math
import bisect
import itertools
import collections
import heapq
import queue
import array
import time
import datetime

# 時々使う
# import numpy as np
# from decimal import Decimal, ROUND_HALF_UP
# from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense, floyd_warshall

# 再帰の制限設定
sys.setrecursionlimit(10000000)


def ii(): return int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
def il(): return list(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def it(): return tuple(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def fl(): return list(map(float, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def iln(n): return [int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
                    for _ in range(n)]


def iss(): return sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
def sl(): return list(map(str, sys.stdin.buffer.readline().decode().split()))
def isn(n): return [sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
                    for _ in range(n)]


def lcm(x, y): return (x * y) // math.gcd(x, y)


# MOD = 10 ** 9 + 7
MOD = 998244353
INF = float('inf')


def make_divisors(n):
    divisors = []
    for i in range(1, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            divisors.append(i)
            if i != n // i:
                divisors.append(n//i)

    divisors.sort()
    return divisors


def main():
    if os.getenv("LOCAL"):
        sys.stdin = open("input.txt", "r")

    N = ii()
    div = make_divisors(N * 2)
    ret = 0
    for d in div:
        s = (((2 * N) / d) - d + 1) / 2
        if s.is_integer():
            ret += 1
    print(ret)


if __name__ == '__main__':
    main()

考え方

解説AC

---

総和がNとなる等差数列について考えると、
初項: S, 長さ: Lとしたとき、 2 * N = (2 * S + L - 1) * Lとなる。

N = 平均 × L
平均 = ( 初項 × 末項 ) ÷ 2
末項 = S + L - 1
N = (S + S + L - 1) × L ÷ 2
2N =(2S + L - 1) × L  

上記の式から初項: Sを求めると、
S = (((2 * N) / L) - L + 1) / 2となる。 また、問題の制約により、初項Sは必ず整数であるため、
(2 * N) / Lも必ず整数である必要がある。
つまり、Lは2 * Nの約数である。

以上から、2 * Nの約数を全て求めて、
S = (((2 * N) / L) - L + 1) / 2が整数となるLの数が回答となる。