ARC113 A - A*B*C

備忘録

問題

atcoder.jp

回答

import sys
import os
import math
import bisect
import itertools
import collections
import heapq
import queue
import array
import time
import datetime

# 時々使う
# import numpy as np
# from decimal import Decimal, ROUND_HALF_UP
# from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense, floyd_warshall

# 再帰の制限設定
sys.setrecursionlimit(10000000)


def ii(): return int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
def il(): return list(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def it(): return tuple(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def fl(): return list(map(float, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def iln(n): return [int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
                    for _ in range(n)]


def iss(): return sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
def sl(): return list(map(str, sys.stdin.buffer.readline().decode().split()))
def isn(n): return [sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
                    for _ in range(n)]


def lcm(x, y): return (x * y) // math.gcd(x, y)


# MOD = 10 ** 9 + 7
MOD = 998244353
INF = float('inf')


def main():
    if os.getenv("LOCAL"):
        sys.stdin = open("input.txt", "r")

    K = ii()

    ret = 0
    for a in range(1, K+1):
        B = K // a
        for b in range(1, B+1):
            C = B // b
            ret += C
    print(ret)


if __name__ == '__main__':
    main()

考え方

素朴にA, B, C(1 <= A, B, C <= K)の範囲を3重ループで全探索すると、
計算量が最大でO(K ** 3) (1 <= K <= 2 * 10 ** 5)のため、時間が足りません。
そのため、計算を減らすことを考えます。

まず、A * B * C <= Kにおいて、AとBを一意に決めると、
Cも一意に決めることが出来ます。
このとき、C <= K // (A * B)となるため、C以下は全て条件を満たす値となります。

次にK // (A * B)について考えると、
こちらもAを決めると、B <= K // Aとなります。
つまり、条件を満たすBの範囲は1 <= B <= K // Aとなり、探索する範囲を狭めることが出来ます。