CADDi 2018 C - Product and GCD

備忘録

問題

atcoder.jp

回答

import sys
import os
import math
import bisect
import itertools
import collections
import heapq
import queue
import array
import time

# 時々使う
# from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense, floyd_warshall
# from decimal import Decimal
# from collections import defaultdict, deque

# 再帰の制限設定
sys.setrecursionlimit(10000000)


def ii(): return int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
def il(): return list(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def fl(): return list(map(float, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def iln(n): return [int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
                    for _ in range(n)]


def iss(): return sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
def sl(): return list(map(str, sys.stdin.buffer.readline().decode().split()))
def isn(n): return [sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
                    for _ in range(n)]


def lcm(x, y): return (x * y) // math.gcd(x, y)


MOD = 10 ** 9 + 7
INF = float('inf')


def prime_fact(N):
    n = 2
    prime = []
    while n * n <= N:
        i = 0
        while N % n == 0:
            N //= n
            i += 1
        if i > 0:
            prime.append((n, i))
        n += 1
    if N != 1:
        prime.append((N, 1))
    return prime


def main():
    if os.getenv("LOCAL"):
        sys.stdin = open("input.txt", "r")

    N, P = il()
    # 素因数分解
    prime = prime_fact(P)

    # 各素因数(q)をN個の要素(a1, a2, ... , an)に振り分ける
    ret = 1
    for p, k in prime:
        q = p ** (k//N)
        if q == 0:
            continue
        else:
            ret *= q
    print(ret)


if __name__ == '__main__':
    main()

考え方

素因数分解を用いて回答を求める問題です。

• 回答概要
  • Pの素因数分解を行う
  • 各素因数をN個の整数(a1, a2, ... , an)に振り分ける

---

N個の整数(a1, a2, ... , an)から求める最大公約数について考えます。
PはN個の整数によって求めることが出来ます。 N個の整数から最大公約数(g)を求めるため、Pは求める最大公約数(g)の倍数です。
P = a1 * a2 * ... * an = g ** k

最大公約数を出来る限り大きくするためには、Pを各aにできる限り均等に振り分ける必要があります。
Pを均等に振り分けるために、Pの素因数分解を行います。
Pを素因数分解することによって、Pを構成する素因数と素因数の数を求めることが出来ます。
P = p1 ** k1 + p2 ** k2 + ... + pn ** kn

この各素因数pをN個に均等に振り分けることによって、最大公約数を求めることが出来ます。