ARC076 D - Built?

備忘録

問題

atcoder.jp

回答

import sys, os, math, bisect, itertools, collections, heapq, queue
from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense, floyd_warshall
from decimal import Decimal

# import fractions

sys.setrecursionlimit(10000000)

ii = lambda: int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
il = lambda: list(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
fl = lambda: list(map(float, sys.stdin.buffer.readline().split()))
iln = lambda n: [int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip()) for _ in range(n)]

iss = lambda: sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
sl = lambda: list(map(str, sys.stdin.buffer.readline().decode().split()))
isn = lambda n: [sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip() for _ in range(n)]

lcm = lambda x, y: (x * y) // math.gcd(x, y)
# lcm = lambda x, y: (x * y) // fractions.gcd(x, y)

MOD = 10 ** 9 + 7
MAX = float('inf')


class UnionFind:
    def __init__(self, N):
        self.tree = list(range(N))

    def root(self, N):
        if self.tree[N] == N:
            return N
        else:
            self.tree[N] = self.root(self.tree[N])
            return self.tree[N]

    def same(self, x, y):
        return self.root(self.tree[x]) == self.root(self.tree[y])

    def unite(self, x, y):
        x = self.root(x)
        y = self.root(y)
        if x == y:
            return
        else:
            self.tree[x] = y


def main():
    if os.getenv("LOCAL"):
        sys.stdin = open("input.txt", "r")

    N = ii()
    uf = UnionFind(N)
    X, Y = [], []

    # X間とY間の距離が短い順にソート
    # 頂点の番号も保持しておく
    for n in range(N):
        x, y = il()
        X.append((x, n))
        Y.append((y, n))
    X.sort()
    Y.sort()

    # 各頂点間の重み(道を作るお金)を計算し、繋がっている頂点を保持
    # 重みでソートを行う
    dist = []
    for n in range(1, N):
        dist.append((abs(X[n][0] - X[n - 1][0]), X[n][1], X[n - 1][1]))
        dist.append((abs(Y[n][0] - Y[n - 1][0]), Y[n][1], Y[n - 1][1]))
    dist.sort()

    # クラスカル法で、重みの小さい順に辺を繋げて木とする
    # UnionFind木を用いて既に繋がっているか否かを判定し
    # 最小全域木をつくる
    ret = 0
    for d, s, u in dist:
        if not uf.same(s, u):
            ret += d
            uf.unite(s, u)
    print(ret)


if __name__ == '__main__':
    main()

考え方

町を繋ぐ道の費用を重みと考え、
全ての町を最小の費用で繋ぐ最小全域木をクラスカル法で作成する。

クラスカル法 - Wikipedia

クラスカル法を使用するためには、重みが最小の辺を求める必要がある。
そのため、まず全てのx座標とy座標をソートを行う。
その後、全てのx, yを小さい順に道を作る費用を求め、繋ぐ町を保持しておく。

あとはクラスカル法を適用し、費用の小さい順に各町を繋げていく。
町を繋げる処理にはUnionFind木を使用し、
繋がっているか否かを判定する。