ABC178 C - Ubiquity

AtCoder Python3 包除原理

備忘録

問題

atcoder.jp

回答

import sys, os, math, bisect, itertools, collections, heapq, queue, copy, array

# from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense, floyd_warshall
# from decimal import Decimal
# from collections import defaultdict, deque

sys.setrecursionlimit(10000000)

ii = lambda: int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
il = lambda: list(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
fl = lambda: list(map(float, sys.stdin.buffer.readline().split()))
iln = lambda n: [int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip()) for _ in range(n)]

iss = lambda: sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
sl = lambda: list(map(str, sys.stdin.buffer.readline().decode().split()))
isn = lambda n: [sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip() for _ in range(n)]

lcm = lambda x, y: (x * y) // math.gcd(x, y)

MOD = 10 ** 9 + 7
INF = float('inf')


def main():
    if os.getenv("LOCAL"):
        sys.stdin = open("input.txt", "r")

    N = ii()
    ret = (pow(10, N, MOD) - pow(9, N, MOD) - pow(9, N, MOD) + pow(8, N, MOD)) % MOD
    print(ret)


if __name__ == '__main__':
    main()

考え方

全体（０から９までで構成された整数列）を予め求め、
条件を満たす整数列（０と９で構成された整数列）以外を求める。
全体から条件を満たさない整数列を引くことによって、条件を満たす整数列の数を求める。

０から９までの１０個の数字を使って、N個の整数列を作る場合、組み合わせはpow(10, N)となり、
これが取りうる組み合わせの最大値となる。

９以外で構成された整数列の数(pow( 9, N))と０以外で構成された整数列の数（pow( 9, N))から、
０と９以外で構成された整数列の数(pow( 8, N))を引くことで、
０または９のどちらかが存在しない整数列の数(pow(9,N)+pow(9,N)-pow(8,N))となる。

あとは、全体(pow(10, N))から０または９のどちらかが存在しない整数列の数(pow(9,N)+pow(9,N)-pow(8,N)))を引くことで、
０または９が存在する整数列の数(pow(10, N) - (pow(9,N)+pow(9,N)-pow(8,N))を求めることが出来る。