ABC139 D - ModSum

備忘録

問題

atcoder.jp

回答

import sys
import os
import math
import bisect
import itertools
import collections
import heapq
import queue
import array
import time

# 時々使う
# from scipy.sparse.csgraph import csgraph_from_dense, floyd_warshall
# from decimal import Decimal
# from collections import defaultdict, deque

# 再帰の制限設定
sys.setrecursionlimit(10000000)


def ii(): return int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
def il(): return list(map(int, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def fl(): return list(map(float, sys.stdin.buffer.readline().split()))
def iln(n): return [int(sys.stdin.buffer.readline().rstrip())
                    for _ in range(n)]


def iss(): return sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
def sl(): return list(map(str, sys.stdin.buffer.readline().decode().split()))
def isn(n): return [sys.stdin.buffer.readline().decode().rstrip()
                    for _ in range(n)]


def lcm(x, y): return (x * y) // math.gcd(x, y)


MOD = 10 ** 9 + 7
INF = float('inf')


def main():
    if os.getenv("LOCAL"):
        sys.stdin = open("input.txt", "r")

    N = ii()
    N -= 1
    print(((N + 1) * N) // 2)


if __name__ == '__main__':
    main()

考え方

数列の法則について考察する問題です。
余りMを最大限大きくするための数列Pについて考えます。

  • 回答概要
    • ii+1となるPで余りの最大値を得ることが出来る
    • N以外の1, 2, ... , N-1は余りの最大値を得ることがで出来る

まず各iの余りを最大にするPについて考えます。

  • i = 1のとき、P >= 2であれば、M = 1となりこれ以上のMを得ることはできません。
  • i = 2のとき、P >= 3であれば、M = 2となりこれ以上のMを得ることはできません。

以上のように、iの余りを最大にするためには、P <= i + 1である必要があります。
また、i + 1以上大きい値でも余りMの値は変化しないため、
Pi + 1が最適であることがわかります。

このことから、i = {1, 2, 3, ... , N}に対して
最適なP{2, 3, 4, ... , N-1, 1}となります。
この時のM{1, 2, 3, ... , N - 1}となるため、
合計値は1からN-1までの和をO(1)で求めることが出来ます。

【基本】和の公式(1からnまでの和) | なかけんの数学ノート